FRAKTÁL-RAKTÁR

A természettudományokban alaptétel, hogy minden felmerülő kérdésünkre sosem kaphatunk választ, sőt, minden válaszunk újabb, eddig fel nem tett kérdésekhez vezet. A tudomány fejlődése korántsem egyenes vonalú (lineáris), inkább körbe-körbe haladunk – több példa is van arra, hogy korábban teljeskörűen leírtnak vélt problémákat később megcáfoltak. Ilyen közismert példa a Föld laposságának kérdése, mely nézet évszázadokig tartotta magát, mint megdönthetetlen tény.  Newton mechanikájáról is azt tartották, hogy az mindenre alkalmazható, ám idővel a természet megmutatta, hogy nem adja olyan könnyen magát – a XX. században zajló kvantummechanika térhódítása jelezte: ha egy bizonyos mérethatár alá kerülünk (pl. atomi szintek alá), akkor „borul” az egész elmélet, és szinte semmi sem érvényes ott, amit Newton leírt. A fraktálok létezésének felismerése hasonló hatással járt – új tudományág fejlődött ki, még újabb és még több kérdést felvetve…

Skálaprobléma
A természet jelenségeit vizsgálva először is tisztáznunk kell, mit tekintünk rendszernek és annak környezetének. Minden eredményünk csak egy jól körülhatárolható térrészben lesz igaz (rendszer), ami azon kívül van (környezet), arra nem vonatkozik (de következthetünk rá). Több helyen azonban már ez is problémát okozhat, ugyanis vannak olyan alakzatok körülöttünk, melyek ún. önhasonlóságot mutatnak, azaz ugyanazt a képet mutatják különböző mérethatárokon belül.

Tekintsük egy villám fényképét, mely képen nem látszik más, csak maga a jelenség. Ha nem mi készítettük a képet és nincsen róla semmilyen információk, nem tudjuk eldönteni, hogy az egész villámot látjuk-e, avagy csak egy részét. Ha ugyanis a villám vonalvezetéséből kijelölünk egy részt és belenagyítunk, ugyanazt fogjuk látni, mintha az egész villámot látnánk.

Forrás: a szerző saját felvétele

Frak-tál
Sokáig azt gondolták, hogy a fraktáljelenségek mesterségesen generáltak, tulajdonképpen „csalásra” gyanakodtak, nem volt összeegyeztethető a természetre egyébként valóban általános káoszra. Idővel azonban kiderült, hogy ez az egész egy szinte zavarba ejtően szabályos rendszer, ott van lépten-nyomon, a felhőkön, a fákon, a leveleken keresztül egészen saját magunkig.

Bizonyítékul szolgálhat az alábbi kép, amelyen egy fát látunk. Vagy egy ágat. Vagy egy fát ágakkal. Vagy egy…

Forrás: Szabó Bettina „Fraktálelmélet” című szakdolgozata

Aranymetszés
Aki természettudományokra adja a fejét, nem kerülheti el a matematikát, mint eszközt arra, hogy leírja vele a körülötte lévő világot. Éppen ezért egy efféle írásban is szükségszerűen megjelennek a számok, melyek önmagukban talán nem sokat mondanak, valójában olyan üzeneteket hordoznak, amire azelőtt talán nem is gondoltunk volna.

A középkor egyik híres matematikusa, Leonardo Fibonacci (* Pisa kb. 1170 – † kb. 1250) írta fel a következő számsorozatot:

an = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...,

ahol a tagokat a1, a2-vel fogjuk jelölni.

A sorozat tagjainak értéke mindig az előző két tag összege (ha nincs előtte, akkor értelemszerűen az összeadás egyik száma nulla):

a1 = 1;
a2 = 0 + 1 = 1;
a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2
a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5
a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8
a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13
a8 = a6 + a7 = 8 + 13 = 21
a9 = a7 + a8 = 13 + 21 = 34
a10 = a8 + a9 = 21 + 34 = 55
és így tovább.

A számokhoz türelem kell. Ahhoz, hogy elárulják nekünk titkukat, több frontvonalon kell támadni. Ossszuk el a sorozat egymás követő tagjait egymással, a nagyobb számot szerepelteve a számlálóban, a kisebbet a nevezőben. Így az alábbi számsorozatot fogjuk kapni:

a2 / a1 = 1 / 1 = 1
a3 / a2 = 2 / 1 = 2
a4 / a3 = 3 / 2 = 1,5
a5 / a4 = 5 / 3 = 1,666...
a6 / a5 = 8 / 5 = 1,6
a7 / a6 = 13 / 8 = 1,6250
a8 / a7 = 21 / 13 = 1,6154
a9 / a8 = 34 / 21 = 1,6190
a10 / a9 = 55 / 34 = 1,6176
a11 / a10 = 89 / 55 = 1,6182
a12 / a11 = 144 / 89 = 1,6179

Az utolsó néhány számból látszik, hogy ezek a számok egy bizonyos érték közelébe kerülnek, azaz „tartanak” vagy „konvergálnak”, mégpedig az 1,618-hoz, amely a sorozat határértéke. A sorozatnak illetve ennek a számnak különleges jelentősége van a természetben, ezért is kapta utóbbi az „aranyarány” igencsak megtisztelő nevet. Mindez körülöttünk és még bennünk is szinte mindenhol megjelenik: néhány példát az alábbi rendkívül szemléletes és gyönyörű zenével kísért videó vonultat fel – közbevetőleg megjegyezve, hogy sok zeneműben is tetten érhető ez a fajta szabályosság, nem véletlenül…

Author: Weisz Dávid

Tájékoztatás, értelmezés, tanítás - ez a három tevékenység a tudomány által elért eredményeknek a megszokottól kissé eltérő módon történő kommunikálására vonatkozik. Az aktuális tudományos hírek hátterének ismertetésére törekszem. Kapcsolat a szerzővel: weisz.david@prherald.hu