GRATULÁLUNK, ÖN NYERT!

Március óta nem volt ötös a lottón, most azonban valakire rámosolygott a szerencse több, mint hárommilliárd forint képében. Utólag mindig okos az ember, én is betérhettem volna egy lottózóba és bejelölhettem volna a 17, 21, 70, 77, 83 számokat, de megtette helyettem valaki más. Azt mondjuk: „szerencséje volt” – tekintsük át matematikailag, pontosan mit is jelent ez!

Forrás: mon.hu

 A hazai szerencsejátékok legnépszerűbb és legnagyobb nyereménnyel kecsegtető játékában 90 számból kell 5-öt kiválasztani. Ha a sorsoláson kihúzottak közül legalább kettő megegyezik az általunk bejelöltekkel, akkor nyertesnek mondhatjuk magunkat. A kettes találat viszonylag gyakori, az ötös viszont igazi kuriózum, a köznyelvben szinte „csoda”-ként tekintünk rá: „esetleg majd akkor beszélhetünk róla, ha ötösöm lesz a lottón”. Hogy erre pontosan mekkora is az esélyünk, arra a valószínűség-számítás ill. kombinatorika adja meg a választ.

 A 90 számból úgy választunk ki tetszőlegesen 5-öt, hogy a sorrend nem számít (ha számítana, akkor sokkal kisebb esély lenne a nyerésre). Ez, a kombinatorikában definiált tételeleket felhasználva kombináció, pontosabban ismétlés nélküli kombináció, ami nem engedi meg, hogy egy szám többször is szerepeljen a számsorban. E szerint n elem k-ad osztályú kombinációinak számát keressük; a mi példánkban n=90 és k=5. Definíció szerint ekkor:

Behelyettesítve:

A faktoriális definicíóját felhasználva:

Azaz:

 Tekintve, hogy n növekedésével az n! exponenciálisan nő, 90! és 85! értékét nem határozzuk meg pontosan, mert rendkívül nagy eredmények adódnának (amelyet számológép már nem is tud kezelni!). Ezért a számlálóban és a nevezőben 85!-sal fogunk egyszerűsíteni:

 

Egyszerűsítés után:

Végül, kiszámítva:

Ebből a keresett valószínűség:

A lehetséges kombinációk számára kapott érték azt jelenti, hogy ha azt szeretnék, hogy biztosan mienk legyen az ötös, egész pontosan 43’949’268 szelvényt kellene kitöltenünk, ami az alapjáték aktuális (2013. szeptember) árával számolva:

 Azaz mintegy 10 milliárd forint. Tekintve, hogy a mostani főnyeremény „csak” 3 milliárdot tesz ki, a vállalkozás finoman szólva sem éri meg. A szerencsejátékok ennél jóval rafináltabban vannak kitalálva, és természetesen jóval komolyabb és bonyolultatabb matematika húzódik mögötte, mint ami itt bemutatásra került, középiskolás szinten.

Author: Weisz Dávid

Tájékoztatás, értelmezés, tanítás - ez a három tevékenység a tudomány által elért eredményeknek a megszokottól kissé eltérő módon történő kommunikálására vonatkozik. Az aktuális tudományos hírek hátterének ismertetésére törekszem. Kapcsolat a szerzővel: weisz.david@prherald.hu